\documentclass[a4paper, 10pt]{article}
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\title{4. "Ubung zur Theoretischen Physik IV}
\author{Anton Haase, Michael Goerz}
%\date{1. Januar 2005}

\begin{document}
\newcommand{\inftyint}{\int\limits_{-\infty}^{+\infty}}
\newcommand{\inftysum}{\sum\limits_{n=0}^{\infty}}
\maketitle

\subsubsection*{Aufgabe 11: Energieb"ander}
Das periodisch auftretende mehrfach Delta-Potential unterteilt die Wellenfunktion $\Psi(x)$ in mehrere Abschnitte. Als Ansatzt f"ur den Bereich zwischen den Potentialen, kann folgender Ansatz gew"ahlt werden:
\begin{eqnarray*}
\Psi_1(x) &=& A_1 e^{\kappa x} + B_1 e^{-\kappa x} \quad \textnormal{f"ur} x\in[0,a] \\
\Psi_2(x) &=& A_2 e^{\kappa x} + B_2 e^{-\kappa x} \quad \textnormal{f"ur} x\in[a,2a]\\
\dots &=& \dots \\
\Psi_n(x) &=& A_n e^{\kappa x} + B_n e^{-\kappa x} \quad \textnormal{f"ur} x\in[(n-1)a,n a]
\end{eqnarray*}
Dabei gilt an jedem "Ubergang die Stetigkeitsbedingung
\begin{equation}
\Psi_{n+1}(n a) \stackrel{!}{=} \Psi_{n}(n a) \label{stet}
\end{equation}
sowie die Unstetigkeitsbedingung, welche sich durch Integration der Schr"odinger Gleichung um eine Stelle $n a$ ergibt:
\begin{eqnarray}
-\frac{\hbar^2}{2 m} \Psi''(x) + V(x) \Psi(x) &=& E \Psi(x) \nonumber \\
-\frac{\hbar^2}{2m} \int\limits_{a n-\epsilon}^{a n+\epsilon} \Psi''(x) \, dx + \lambda \int\limits_{a n-\epsilon}^{a n+\epsilon} \delta(x-a n) \Psi(x) \, dx &=& E \int\limits_{a n-\epsilon}^{a n+\epsilon} \Psi(x) \,dx; \qquad \epsilon \rightarrow 0 \nonumber\\
\frac{\hbar^2}{2m} \left( \lim\limits_{\epsilon \rightarrow 0}(\Psi_{n+1}'(a n+\epsilon)) - \lim\limits_{\epsilon \rightarrow 0}(\Psi_{n}'(a n-\epsilon))\right)  &=&  \lambda \Psi_n(an) \nonumber \\
\lim\limits_{\epsilon \rightarrow 0}(\Psi_{n+1}'(a n+\epsilon)) - \lim\limits_{\epsilon \rightarrow 0}(\Psi_{n}'(a n-\epsilon))  &=&  \frac{2m\lambda}{\hbar^2} \Psi_n(an) \nonumber \\
\Psi_{n+1}'(a n+\epsilon) - \Psi_{n}'(a n-\epsilon) &=&  \frac{2m\lambda}{\hbar^2} \Psi_n(an) \label{unstet}
\end{eqnarray}
Durch Einsetzten des allegemeinen Ansatzes in die Bedingung (\ref{stet}) erh"alt man:
\begin{eqnarray}
A_{n+1} e^{\kappa n a} + B_{n+1} e^{- \kappa n a} &=& A_{n} e^{\kappa n a} + B_{n} e^{- \kappa n a} \nonumber \\
\Rightarrow \quad A_{n+1} e^{\kappa n a} &=& A_{n} e^{\kappa n a} + B_{n} e^{- \kappa n a} - B_{n+1} e^{- \kappa n a} \label{stet_A} \\
\Rightarrow \quad B_{n+1} e^{\kappa n a} &=& A_{n} e^{\kappa n a} + B_{n} e^{- \kappa n a} - A_{n+1} e^{\kappa n a} \label{stet_B}
\end{eqnarray}
Analog ergibt sich aus der Unstetigkeitsbedingung (\ref{unstet}):
\begin{eqnarray*}
&&\kappa \left( A_{n+1} e^{\kappa n a} - B_{n+1} e^{- \kappa n a} - A_n e^{\kappa n a} + B_n e^{- \kappa n a}\right) = \dots \nonumber \\
\dots &=& \frac{2m\lambda}{\hbar^2} (A_n e^{\kappa n a} + B_n e^{- \kappa n a})
\end{eqnarray*}
Einsetzten der Gleichung (\ref{stet_B}) liefert:
\begin{eqnarray}
2 A_{n+1} e^{\kappa n a} - 2 A_n e^{\kappa n a} &=& \frac{2m\lambda}{\hbar^2 \kappa} (A_n e^{\kappa n a} + B_n e^{- \kappa n a}) \nonumber \\
A_{n+1} e^{\kappa n a} - A_n e^{\kappa n a} &=& \frac{m\lambda}{\hbar^2 \kappa} (A_n e^{\kappa n a} + B_n e^{- \kappa n a}) \nonumber \\
A_{n+1} e^{\kappa n a} &=& \left(\frac{m\lambda}{\hbar^2 \kappa} + 1\right) A_n e^{\kappa n a} + \frac{m\lambda}{\hbar^2 \kappa} B_n e^{- \kappa n a} \nonumber
\end{eqnarray}
Zur Vereinfachung wird folgendes defniniert: $\alpha := \frac{m\lambda}{\hbar^2 \kappa}$. Es folgt:
\begin{equation}
A_{n+1} e^{\kappa n a} = (\alpha + 1) A_n e^{\kappa n a} + \alpha B_n e^{- \kappa n a} \label{Anp1}
\end{equation}
Analog erh"alt man durch Einsetzten von (\ref{stet_A}):
\begin{eqnarray}
- 2 B_{n+1} e^{- \kappa n a} + 2 B_n e^{-\kappa n a} &=& 2 \alpha (A_n e^{\kappa n a} + B_n e^{- \kappa n a}) \nonumber \\
B_{n+1} e^{-\kappa n a} - B_n e^{-\kappa n a} &=& - \alpha (A_n e^{\kappa n a} + B_n e^{- \kappa n a}) \nonumber \\
B_{n+1} e^{-\kappa n a} &=& -\alpha A_n e^{\kappa n a} + (1-\alpha) B_n e^{- \kappa n a}
\end{eqnarray}
Diese Rekursive Beziehung l"asst sich in Matrix-Form noch eleganter ausdr"ucken:
\begin{equation}
\left(
\begin{array}{l}
 e^{a n \kappa } A_{n+1} \\
 e^{-a n \kappa } B_{n+1}
\end{array}
\right)=\left(
\begin{array}{ll}
 \alpha +1 & \alpha  \\
 -\alpha  & 1-\alpha 
\end{array}
\right) \left(
\begin{array}{l}
 e^{a n \kappa } A_n \\
 e^{-a n \kappa } B_n
\end{array}
\right)
\end{equation}
Die Rekursionsformel kann auch so umformuliert werden, dass jeder Koeffizient direkt aus $A_1$ und $B_1$ hervorgeht.
\begin{equation}
\left(
\begin{array}{l}
 e^{a n \kappa } A_{n+1} \\
 e^{-a n \kappa } B_{n+1}
\end{array}
\right)=\left(
\begin{array}{ll}
 \alpha +1 & \alpha  \\
 -\alpha  & 1-\alpha 
\end{array}
\right)^n \left(
\begin{array}{l}
 e^{a \kappa } A_1 \\
 e^{-a \kappa } B_1
\end{array}
\right)
\end{equation}
Um die Periodizit"atsbedingung zu erf"ullen, muss gelten:
$$
\Psi_N(x) \stackrel{!}{=} \Psi_1(x)
$$
Damit folgt f"ur die Matrix die Beziehung:
\begin{equation}
\left(
\begin{array}{ll}
 \alpha +1 & \alpha  \\
 -\alpha  & 1-\alpha 
\end{array}
\right)^N \stackrel{!}{=} \left(
\begin{array}{ll}
 1 & 0  \\
 0  & 1 
\end{array}
\right)
\end{equation}
Da die zur Diagonalisierung erforderlichen Eigenwerte $\beta_{1,2} = 1$ sind, ist diese Behauptung auch erf"ullt. Dies best"atigt die Existenz von N gebundenen Zust"anden.

\subsubsection*{Aufgabe 12: Koh"arente Zust"ande}
\paragraph{1.}
\paragraph{Beh.:}
\begin{eqnarray}
\inftyint e^{-\beta^2x^2}H_n(\beta x) H_m(\beta x) dx = \frac{\sqrt{\pi} \, 2^n \, n!}{\beta} \delta_{n,m}
\end{eqnarray}
\paragraph{Bew.:} Wir substituieren $z := \beta x$, die Behauptung wird dann zu
\begin{eqnarray}
\inftyint e^{-z^2}H_n(z) H_m(z) dz = \sqrt{\pi} \, 2^n \, n! \delta_{n,m}
\end{eqnarray}
Desweiteren benutzen wir die erzeugende Funktion der Hermite-Polynome
\begin{eqnarray}
e^{-\xi^2 + 2\xi y} = \inftysum \frac{\xi^n}{n!}H_n(y)
\end{eqnarray}
Man kann dann formulieren:
\begin{eqnarray}
\inftyint e^{-y^2} \; e^{-t^2 + 2t y} \; e^{-s^2 + 2s y} dy &=& \inftyint e^{-y^2} e^{2y(t+s)}e^{-t^2-s^2} dz \nonumber\\ 
&=& \inftyint e^{-(y-(t+s))^2} e^{2ts} dy \nonumber\\
&=& e^{2ts} \sqrt{\pi} = \inftysum \frac{(2ts)^n}{n!}\sqrt{\pi} \label{vgl1}\\
&=& \inftyint e^{-y^2} \left( \sum\limits_{n=0}^{\infty} H_n(y) \frac{t^n}{n!} \right) \left( \sum\limits_{m=0}^{\infty} H_m(y) \frac{s^m}{m!} \right) \nonumber\\
&=& \sum\limits_{n,m=0}^{\infty} \frac{t^n s^n}{n! \; m!} \inftyint e^{-z^2} H_n(y) H_m(y) dy \label{vgl2}
\end{eqnarray}
Durch Vergleich von (\ref{vgl1}) und (\ref{vgl2}) l"asst sich sofort sagen, dass eine L"osung ungleich Null nur durch $m=n$ m"oglich sein kann, und man erh"alt durch Aufl"osen nach dem gesuchten Ausdruck das Ergebnis,
\begin{eqnarray}
\inftyint e^{-y^2} H_n{z} H_m(y) dy = \sqrt{\pi} 2^n n! \, \delta_{n,m}
\end{eqnarray}
\end{document}